Где находится центр масс однородного прута согнутого посередине


Прут согнули и подвесили

2016-11-29 | Автор: Анна

Это способ подвешивания для определения центра тяжести любого предмета: подвешиваете предмет за различные точки, и карандашиком проводите вертикальные линии от линии подвеса. Там, где они пересекутся – и есть центр тяжести.

Задача . Тяжелый однородный прут согнули в середине под углом  и подвесили свободно за один из концов. Какой угол с вертикалью образует прикрепленный конец?

Эта задача кажется сложной, но на самом деле – нет. Представим, что мы подвешиваем такой прут сначала так:

Рисунок 1

 

А потом так:

Рисунок 2

Центр тяжести будет на пересечении обеих вертикалей. Это способ подвешивания для определения центра тяжести любого предмета: подвешиваете предмет за различные точки, и карандашиком проводите вертикальные линии от линии подвеса. Там, где они пересекутся – и есть центр тяжести.

Тогда положение центра тяжести нашего прута:

Рисунок 3

 

Также известно, что центр тяжести системы тел (а две половинки можно считать системой) находится всегда на линии, соединяющей центры масс частей. Центры масс половинок находятся в их центрах:

Рисунок 4

Теперь задача из физической превратилась в геометрическую. Имеем равнобедренный треугольник . Его средняя линия – . Нам надо определить угол в треугольнике . Так как треугольник по условию прямоугольный и равнобедренный, то угол . Обозначим длину половинки прута . Тогда , а .

Рисунок 5

Решим треугольник , в котором нам известны тупой угол и две стороны. По теореме косинусов найдем сторону :

   

   

   

   

   

Теперь можно и теоремой синусов воспользоваться:

   

   

Тогда сам угол равен

   

Ответ:
Решив эту задачу, я изготовила нечто подобное из картона и подвесила на ручку двери туалета изнутри – чтобы ее невозможно было закрыть снаружи. Моя кошка благодарна за это устройство физике.

easy-physic.ru

Центр масс — Википедия

Центр масс, центр ине́рции, барице́нтр (от др.-греч. βαρύς — тяжёлый + κέντρον — центр) — (в механике) - геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого[1]. В общем случае центр масс не совпадает с центром тяжести, совпадение происходит только у систем материальных точек и тел с однородной по объёму плотностью в однородном гравитационном поле.

Введение понятия центра тяжести удобно во многих приложениях механики и упрощает расчеты при использовании системы координат, связанной с центром масс. Если на механическую систему не действуют внешние силы, то центр масс такой системы движется с постоянной по величине и направлению скоростью.

Джованни Чева применял рассмотрения центров масс к решению геометрических задач, таких как теоремы Менелая и теоремы Чевы.[2]

Положение центра масс (центра инерции) системы материальных точек в классической механике определяется следующим образом[3]:

r→c=∑imir→i∑imi,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum \limits _{i}m_{i}}},}

где r→c{\displaystyle {\vec {r}}_{c}} — радиус-вектор центра масс, r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} — радиус-вектор i-й точки системы, mi{\displaystyle m_{i}} — масса i-й точки.

Для случая непрерывного распределения масс:

r→c=1M∫Vρ(r→)r→dV,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={1 \over M}\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}}){\vec {r}}dV,}
M=∫Vρ(r→)dV,{\displaystyle M=\int \limits _{V}\rho ({\vec {r}})dV,}

где M{\displaystyle M} — суммарная масса системы, V{\displaystyle V} — объём, ρ{\displaystyle \rho } — плотность. Центр масс, таким образом, характеризует распределение массы по телу или системе частиц.

Если система состоит не из материальных точек, а из протяжённых тел с массами Mi{\displaystyle M_{i}}, то радиус-вектор центра масс такой системы Rc{\displaystyle R_{c}} связан с радиус-векторами центров масс тел Rci{\displaystyle R_{ci}} соотношением[4]:

R→c=∑iMiR→ci∑iMi.{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

Действительно, пусть даны несколько систем материальных точек с массами M1,M2,...MN.{\displaystyle M_{1},M_{2},...M_{N}.} Радиус-вектор R→cn{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}} n{\displaystyle n}-ной системы:

R→cn=∑inminr→in∑inmin=∑inminr→inMn, n=1,2,...N.{\displaystyle {\vec {R}}_{c_{n}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}}}={\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}},\ n=1,2,...N.}
R→c=∑n(∑inminr→inMn⋅Mn)∑nMn=∑iMiR→ci∑iMi.{\displaystyle {\vec {R}}_{c}={\frac {\sum \limits _{n}\left({\frac {\sum \limits _{i_{n}}m_{i_{n}}{\vec {r}}_{i_{n}}}{M_{n}}}\cdot M_{n}\right)}{\sum \limits _{n}M_{n}}}={\frac {\sum \limits _{i}M_{i}{\vec {R}}_{ci}}{\sum \limits _{i}M_{i}}}.}

При переходе к протяженным телам с непрерывным распределением плотности в формулах будут интегралы вместо сумм, что даст тот же результат.

Иначе говоря, в случае протяжённых тел справедлива формула, по своей структуре совпадающая с той, что используется для материальных точек.

Центры масс плоских однородных фигур[править | править код]

Координаты центра масс однородной плоской фигуры можно вычислить по формулам (следствие из теорем Паппа — Гульдина):

xs=Vy2πS{\displaystyle x_{s}={\frac {V_{y}}{2\pi S}}} и ys=Vx2πS{\displaystyle y_{s}={\frac {V_{x}}{2\pi S}}}, где Vx,Vy{\displaystyle V_{x},V_{y}} — объём тела, полученного вращением фигуры вокруг соответствующей оси, S{\displaystyle S} — площадь фигуры.

Центры масс периметров однородных фигур[править | править код]

Понятие центра масс широко используется в физике, в частности, в механике.

Движение твёрдого тела можно рассматривать как суперпозицию движения центра масс и вращательного движения тела вокруг его центра масс. Центр масс при этом движется так же, как двигалось бы тело с такой же массой, но бесконечно малыми размерами (материальная точка). Последнее означает, в частности, что для описания этого движения применимы все законы Ньютона. Во многих случаях можно вообще не учитывать размеры и форму тела и рассматривать только движение его центра масс.

Часто бывает удобно рассматривать движение замкнутой системы в системе отсчёта, связанной с центром масс. Такая система отсчёта называется системой центра масс (Ц-система), или системой центра инерции. В ней полный импульс замкнутой системы всегда остаётся равным нулю, что позволяет упростить уравнения её движения.

Центр масс в релятивистской механике[править | править код]

В случае высоких скоростей (порядка скорости света) (например, в физике элементарных частиц) для описания динамики системы применяется аппарат СТО. В релятивистской механике (СТО) понятия центра масс и системы центра масс также являются важнейшими понятиями, однако, определение понятия меняется:

r→c=∑ir→iEi∑iEi,{\displaystyle {\vec {r}}_{c}={\frac {\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{i}E_{i}}{\sum \limits _{i}E_{i}}},}

где r→c{\displaystyle {\vec {r}}_{c}} — радиус-вектор центра масс, r→i{\displaystyle {\vec {r}}_{i}} — радиус-вектор i-й частицы системы, Ei{\displaystyle E_{i}} — полная энергия i-й частицы.

Данное определение относится только к системам невзаимодействующих частиц. В случае взаимодействующих частиц в определении должны в явном виде учитываться импульс и энергия поля, создаваемого частицами[5].

Во избежание ошибок следует понимать, что в СТО центр масс характеризуется не распределением массы, а распределением энергии. В курсе теоретической физики Ландау и Лифшица предпочтение отдается термину «центр инерции». В западной литературе по элементарным частицам применяется термин «центр масс» (англ. center-of-mass): оба термина эквивалентны.

Скорость центра масс в релятивистской механике можно найти по формуле:

v→c=c2∑iEi⋅∑ip→i.{\displaystyle {\vec {v}}_{c}={\frac {c^{2}}{\sum \limits _{i}E_{i}}}\cdot \sum \limits _{i}{\vec {p}}_{i}.}
Центр тяжести

Центр масс тела не следует путать с центром тяжести.

Центром тяжести механической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести (действующих на систему) равен нулю. Например, в системе, состоящей из двух одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем, и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести системы будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от параметра гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня.

В однородном гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. В некосмических задачах гравитационное поле обычно может считаться постоянным в пределах объёма тела, поэтому на практике эти два центра почти совпадают.

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (поскольку реального гравитационного поля нет, то и учёт его неоднородности не имеет смысла). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый.

  1. Тарг С. М.  Центр инерции (центр масс) // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Большая российская энциклопедия, 1999. — Т. 5: Стробоскопические приборы — Яркость. — С. 624—625. — 692 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-85270-101-7.
  2. ↑ G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678
  3. ↑ Журавлёв, 2001, с. 66.
  4. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.  Выпуск 2. Пространство. Время. Движение // Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1965. — 164 с. — С. 68.
  5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.

ru.wikipedia.org

центр масс системы, 8 класс.

Продолжаем подготовку к олимпиадам. Сегодня знакомимся с понятием “центр масс системы” и учимся находить его координату.

Задача 1. Стержень сварен из двух одинаковых по сечению стержней, изготовленных из материалов с плотностями  и . При каком отношении длин стержней  центр масс системы будет находиться в плоскости сварки?  − длина стержня с плотностью  . Ответ округлить до целых.

Рисунок 1

Масса менее плотного стержня:

   

Масса более плотного:

   

По рисунку запишем условие равновесия относительно точки сварки:

   

Сократим и запишем массы через плотности и объемы:

   

Или

   

Откуда

   

По мне – это не сложное решение. Но можно решать через формулу для координаты центра масс, это будет сложнее:

   

Здесь – масса всей системы, – массы составляющих системы, – их координаты. Для нашего стержня

   

   

Разделив на , получим:

   

   

Откуда

   

Ответ: 2.

Задача 2. Балка удерживается в наклонном положении веревкой. Будет ли суммарная сила реакции, действующая на нижний конец балки, направлена вдоль нее?

Рисунок 2

Так как балка неподвижна, значит, силы, действующие на нее, находятся в равновесии – то есть их сумма равна нулю. Следовательно, сила реакции уравновешивает направленную вертикально вниз силу тяжести и силу натяжения веревки. Глядя на рисунок, можно видеть, что при этом она не  может быть направлена вдоль балки.

 

Задача 3. Определите, на каком расстоянии от стороны БВ находится центр тяжести П-образной конструкции, состоящей из трех одинаковых кусков однородной проволоки длиной   см каждая. Ответ дать в см, округлив до целых.

Рисунок 3

Определим по формуле координату центра масс системы:

   

Здесь – масса всей системы, – массы составляющих проволочек, – координаты их центров масс. Для нашей системы

   

Ответ: 4 см.

Задача 4. Легкий рычаг изогнут так, что стороны его AB=2AC=2CD образуют друг с другом прямые углы. Ось рычага в точке C. Перпендикулярно плечу рычага AB в точке B приложена сила  Н. Определить минимальное значение силы, которую нужно приложить в точке D, чтобы рычаг остался в равновесии. Ответ дать в Н, округлить до целых.

Рисунок 4

Плечо силы равно , поэтому придется приложить силу, вдвое большую : 20 H.

Задача 5. На тонком легком стержне на равных расстояниях   см друг от друга закреплены 3 тела массами  и  соответственно. На каком расстоянии от тела массой m находится центр масс системы? Ответ дать в см, округлив до целых.

Понятно, что центр тяжести расположен между большим и средним грузом. Пусть на расстоянии от него:

Рисунок 5

Тогда условие равновесия:

   

Откуда

   

Поэтому центр тяжести находится в 10 см от тела массой .

Ответ: 10 см.

Попробуем решить по формуле:

   

Здесь – масса всей системы, – массы грузов, – координаты их центров масс. Для нашей системы

   

Ответ: 10 см.

 

easy-physic.ru

Kvant. Центр масс2 — PhysBook

А так ли хорошо знаком вам центр масс? // Квант. — 1999. — № 3. — С. 32-33.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Центром тяжести каждого тела является некоторая расположенная
внутри его точка — такая, что если за нее мысленно подвесить тело,
то оно остается в покое и сохраняет первоначальное положение.
Архимед
Два тяжелых тела, связанных друг с другом, не могут сами па себе
прийти в движение без того, чтобы их общий центр тяжести не опускался.
Эванджеписта Торричелли
Я заметил удивительный закон природы... «общий центр тяжести
двух или трех или скольких угодно тел продолжает двигаться
равномерно в туже сторону по прямой линии как да, так и после удара».
Христиан Гюйгенс
Ведь из того положения, что брошенная в пустоте тачка описывает
параболу, можно также сделать вывод, что всякое конечное тело,
если оно будет брошено, должно двигаться по параболе.
Леонард Эйлер

Карданов подвес

Не удивляйтесь тому, что это словосочетание не встречается в эпиграфах, хотя именно о нем идет в них речь. Просто долгое время исследователям этого понятия не приходилось сталкиваться с обстоятельствами, в которых необходимо отличать «центр тяжести» тела от его «центра масс». В одной из задач мы предложим вам такую ситуацию, однако в подавляющем большинстве случаев один термин безболезненно можно заменять другим.

Изучение замечательных свойств «центров», которому более двух тысячелетий, оказалось полезным не только для механики - например, при конструировании транспортных средств и военной техники, расчете устойчивости сооружений или для вывода уравнений движения реактивных аппаратов. С помощью этих свойств стало возможным доказывать новые математические факты, находить решения некоторых трудных геометрических проблем, а впоследствии — строить плодотворные модели в таких областях знания, как химия, генетика, статистика, металлургия, теория цветного зрения... Вряд ли Архимед мог даже помыслить о том, что понятие центра масс окажется весьма удобным для исследований в ядерной физике или в физике элементарных частиц.

Многочисленные достоинства центра масс позволяют поместить его сегодня в центр вашего внимания.

Вопросы и задачи

  1. При перемещении тела с экватора на полюс действующая на него сила тяжести меняется. Отражается ли это на положении центра тяжести тела?
  2. Можно ли найти центр тяжести «гантели», состоящей из двух массивных шариков, соединенных невесомым стержнем, при условии, что длина «гантели» сравнима с диаметром Земли?
  3. Почему при резком торможении автомобиля его передняя часть опускается?
  4. Однородное тело находится в покое. К точкам А и В приложили две равные и противоположно направленные силы, как показано на рисунке. В каком направлении станет двигаться точка В?
  5. Отчего автобус, совершая поворот на относительно большой скорости, наклоняется в сторону, противоположную повороту?
  6. Канат длиной L и массой m лежит на земле. Один его конец подняли на высоту L. Какая при этом была совершена работа?
  7. Где находится центр тяжести бублика?
  8. В цилиндрический стакан понемногу наливают воду. Как будет изменяться положение центра тяжести системы стакан - вода?
  9. Какой длины конец надо отрезать от однородного стержня, чтобы его центр тяжести сместился на Δl?
  10. Однородный стержень согнули посередине под прямым углом. Где оказался теперь его центр тяжести?
  11. Найдите центр тяжести системы шаров, находящихся в вершинах равностороннего невесомого треугольника, изображенного на рисунке.
  12. Невысокий деревянный цилиндр, обточенный с одного конца в форме полушара, остается в покое, если его поставить на горизонтальную плоскость любой точкой закругления. Где находится его центр тяжести?
  13. Неподвижная космическая станция представляет собой цилиндр. Космонавт начинает круговой обход станции по ее поверхности. Что произойдет со станцией?
  14. Как будет двигаться изображенная на рисунке тележка после открывания крана? Трением колес о плоскость пренебречь.
  15. Две заряженные частицы массами m и 2m, которые взаимодействуют только между собой, одновременно вылетают навстречу друг другу из точек А и В, имея равные по величине импульсы. По траектории частицы массой 2m, приведенной на рисунке, восстановите траекторию другой частицы.
  16. Почему трудно передвигаться на ходулях?
  17. Когда канатоходцу легче удержать равновесие — при обычном передвижении по канату или при переносе сильно изогнутого коромысла, нагруженного ведрами с водой?
  18. Как объяснить сохранение равновесия в случае, показанном на рисунке?
  19. Глубина лунки в доске, в которую вставлен шар, в два раза меньше радиуса шара. При каком угле наклона доски к горизонту шар выскочит из лунки?

Микроопыт

Поставьте детскую игрушку неваляшку (Ваньку-Встаньку) на шероховатую доску и приподнимите правый край доски. В какую сторону отклонится «голова» игрушки при сохранении ее равновесия?

Любопытно, что…

...в своем труде «О равновесии плоских тел» Архимед употреблял понятие центра тяжести, фактически не определяя его. Видимо, оно впервые было введено неизвестным предшественником Архимеда или же им самим, но в более ранней, не дошедшей до нас работе.

...должно было пройти долгих семнадцать столетий, прежде чем наука прибавила к исследованиям Архимеда о центрах тяжести новые результаты. Это произошло, когда Леонардо да Винчи сумел найти центр тяжести тетраэдра. Он же, размышляя об устойчивости итальянских наклонных башен, в том числе — Пизанской, пришел к «теореме об опорном многоугольнике».

...представленный в эпиграфах принцип Торричелли (а его имя носят и формулы для расчета центра масс), оказывается, был предвосхищен его учителем Галилеем. В свою очередь, этот принцип лег в основу классического труда Гюйгенса о маятниковых часах, а также был использован в знаменитых гидростатических исследованиях Паскаля.

...выясненные еще Архимедом условия равновесия плавающих тел впоследствии пришлось переоткрывать. Занимался этим в конце XVI века голландский ученый Симон Стевин, применявший, наряду с понятием центра тяжести, и понятие «центр давления» — точку приложения силы давления окружающей тело воды.

...метод, позволивший Эйлеру изучать движение твердого тела под действием любых сил, состоял в разложении этого движения на перемещение центра масс тела и вращение вокруг проходящих через него осей.

...для сохранения в неизменном положении предметов при движении их опоры уже несколько столетий применяется так называемый карданов подвес — устройство, в котором центр тяжести тела располагают ниже осей, вокруг которых оно может вращаться. Примером может служить показанная на рисунке корабельная керосиновая лампа.

...хотя на Луне сила тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле, увеличить там рекорд по прыжкам в высоту удалось бы «всего» лишь в четыре раза. К такому выводу приводят расчеты по изменению высоты центра тяжести тела спортсмена.

...помимо суточного вращения вокруг своей оси и годового обращения вокруг Солнца, Земля принимает участие еще в одном круговом движении. Вместе с Луной она «крутится» вокруг общего центра масс, расположенного примерно в 4700 километрах от центра Земли.

...некоторые искусственные спутники Земли снабжены складной штангой в несколько или даже в десятки метров, утяжеленной на конце (так называемый гравитационный стабилизатор). Дело в том, что спутник вытянутой формы стремится при движении по орбите повернуться вокруг своего центра масс так, чтобы его продольная ось расположилась вертикально. Тогда он, подобно Луне, будет все время обращен к Земле одной стороной.

...движение центра масс системы из разгоняемой в ускорителе частицы и мишени, с которой она затем сталкивается, приводит лишь к неоправданным потерям энергии. Эффективно использовать энергию относительного движения налетающих друг на друга частиц удается в ускорителях на встречных пучках, где центр масс системы остается в покое. Для ультрарелятивистских частиц выигрыш в энергии может быть очень большим — в тысячи или даже в миллионы раз (для классических частиц в случае одинаковых масс выигрыш всего лишь четырехкратный).

...наблюдения за движением некоторых видимых звезд свидетельствуют о том, что они входят в двойные системы, в которых происходит вращение «небесных партнеров» вокруг общего центра масс. Одним из невидимых компаньонов в такой системе может быть нейтронная звезда или, возможно, черная дыра.

Что читать в «Кванте» о центре масс

  1. «Системы отсчета в механике» — 1994, Приложение № 3, с. 103;
  2. «Что такое центр масс?» — 1995, Приложение № 4, с. 35;
  3. «Почему не лежится Ваньке-Встаньке» — 1996, № 1, с. 38;
  4. «Задачи на центр масс» — 1996, № 2, с. 43;
  5. Калейдоскоп «Кванта» — 1998, № 1, с. 32;
  6. «Задачи с распределенной массой» — 1998, № 2, с. 46;
  7. «Куда проскользнет палочка?» — 1998, № 4, с. 41;
  8. «Палочка продолжает падать...» — 1999, № 2, с. 26.

Ответы

  1. Нет, так как относительные изменения силы тяжести всех элементов тела одинаковы.
  2. Нет. Условие существования центра тяжести — однородность поля тяготения. В неоднородном гравитационном поле повороты «гантели» вокруг ее центра масс приводят к тому, что линии действия L1 и L2 равнодействующих сил тяжести, приложенных к шарикам, не имеют общей точки.
  3. При торможении на колеса со стороны дороги действует сила трения, создающая вращающий момент вокруг центра масс автомобиля.
  4. Пара сил \(~\vec F_1\) и \(~\vec F_2\) сообщает телу вращение по часовой стрелке вокруг его центра масс, лежащего правее точки В. Следовательно, точка В станет двигаться против направления силы \(~\vec F_2\).
  5. Силы трения, сообщающие автобусу центростремительное ускорение, приложены не к его центру масс, а к нижним точкам колес, поэтому кузов автобуса движется по кривой большего радиуса, чем колеса.
  6. Работа равна \(~\frac{mgL}{2}\), так как центр тяжести каната оказался поднят на высоту \(~\frac{L}{2}\).
  7. В дырке!
  8. Центр тяжести системы сначала будет понижаться, а потом — повышаться.
  9. Длиной Δl.
  10. В точке O — середине отрезка O1O2, соединяющего середины участков АВ и ВС стержня.
  11. Центр тяжести лежит на середине биссектрисы угла, в вершине которого находится шар массой 2m.
  12. В центре шара.
  13. Станция придет во вращение в противоположную сторону, причем ее центр будет описывать окружность вокруг общего с космонавтом центра масс.
  14. Тележка и находящаяся в сосудах вода будут совершать колебания вокруг общего центра масс. После того как уровни воды в сосудах окончательно сравняются, движение тележки прекратится.
  15. Траектория частицы массой m получается растяжением с коэффициентом подобия 2 траектории частицы массой 2m.
  16. Центр тяжести человека на ходулях значительно повышается, а площадь его опоры на землю уменьшается.
  17. Во втором случае, так как центр масс канатоходца с ведрами лежит ниже, т.е. ближе к опоре — канату.
  18. Центр тяжести системы карандаш - нож лежит ниже точки опоры.
  19. При \(~\alpha > \frac{pi}{2}\) .

Микроопыт

Центр тяжести С неваляшки находится ниже геометрического центра О шарообразной поверхности «туловища». В положении равновесия точка С и точка касания А игрушки с наклонной плоскостью должны находиться на одной вертикали; следовательно «голова» неваляшки отклонится влево.

Материал подготовил А.Леонович

www.physbook.ru

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по физике - 8829

Определите положение центра тяжести замкнутой фигуры из однородной проволоки, сделанной в виде полукольца радиусом $R$ (рис.).
Подробнее

Задача по физике - 8831

Треугольная призма массой $m$ состоит из двух одинаковых половинок. Основание призмы представляет собой равносторонний треугольник. Стоя на одном ребре, призма находится в состоянии неустойчивого равновесия. Половинки призмы стянуты нитью АВ (рис.). Какова должна быть минимальная сила натяжения нити, чтобы призма не распалась?
Подробнее

Задача по физике - 8832

Два человека несут бревно, диаметр которого изменяется от $d_{1}$ до $d_{2}$. Длина бревна $l$. На каком расстоянии от тонкого конца должен взяться за бревно второй человек, чтобы оба несущих испытывали одинаковую нагрузку, если первый держится за толстый край? Подробнее

Задача по физике - 8833

Два стержня, одинаковые по форме и размерам, но сделанные из разных материалов с модулями Юнга $E_{1}$ и $E_{2}$, склеены торцами. Какой модуль Юнга $E$ должен иметь материал, чтобы изготовленный из него стержень проявлял те же упругие свойства, что и система двух стержней? Подробнее

Задача по физике - 9293

Однородная нить массы $m$ свободно висит так, что оба ее конца закреплены и находятся на одной высоте. Сила натяжения нити в нижней точке равна $T_{0}$. Найти силу натяжения нити вблизи точек подвеса. Подробнее

Задача по физике - 9296

Чтобы сдвинуть контейнер влево, к центру его правой стороны, перпендикулярно ей, необходимо приложить силу $F_{1} = 10^{2} Н$, а чтобы сдвинуть его вправо, нужно приложить к центру левой стороны, перпендикулярно ей, силу $F_{2} = 1,5 \cdot 10^{2} Н$ (рис.). Найти массу контейнера. Левые опоры, в отличие от правых, сделаны на роликах, обеспечивающих пренебрежимо малое трение. Размеры опор малы. Контейнер считать однородным кубом.
Подробнее

Задача по физике - 9301

Небольшой груз массы $m$ закреплен посередине невесомой тележки высоты $h$. Расстояния от него до обеих осей тележки равны $l$. Тележка катится по наклонной плоскости с углом при основании $\alpha$ (рис.). В некоторый момент с помощью тормозных колодок мгновенно останавливают вращение колес тележки. Коэффициент трения скольжения передних колес о плоскость равен $k_{1}$, задних — $k_{2}$. При каком угле а тележка начнет двигаться равномерно?
Подробнее

Задача по физике - 9302

У стенки, прижимаясь к ней, лежит катушка массы $m$ радиуса $2R$, на внутренний цилиндр которой намотана нить (рис.). За нить тянут вертикально вниз. При каком значении силы натяжения нити $F$ катушка начнет вращаться? Коэффициенты трения о пол и стенку одинаковы и равны $k$, радиус внутреннего цилиндра равен $R$.
Подробнее

Задача по физике - 9303

На горизонтальном столе находится лист бумаги, прижатый однородным стержнем массы $m$, верхний конец которого шарнирно закреплен. Какую минимальную горизонтальную силу необходимо приложить к листу, чтобы вытащить его? Угол между стержнем и листом равен $\alpha$, коэффициент трения между ними равен $k$. Трением между столом и бумагой пренебречь. Подробнее

Задача по физике - 9304

Жесткий стержень длины $l$ может свободно поворачиваться вокруг оси О, закрепленной на расстоянии $l$ от гладкой вертикальной стенки (рис.). Между стержнем и стенкой зажат брусок толщины $h$. При какой толщине бруска его невозможно протянуть вниз, если коэффициент трения между стержнем и бруском равен $k$.
Подробнее

Задача по физике - 9305

Брусок длины $l$ и массы $m$ подвешен на двух параллельных невесомых жестких стержнях, соединенных шарниром с перекладиной длины $L$, стоящей на опорах (рис.). Правый стержень находится на расстоянии $d$ от правого конца перекладины. Брусок начинает движение из наивысшего положения без начальной скорости. Найти максимальную разность сил, действующих на правую и левую опоры перекладины. Прогибом перекладины и трением пренебречь.
Подробнее

Задача по физике - 9311

Одна из стенок прямоугольного сосуда с водой образована бруском. Брусок представляет собой призму, в плоскостях боковых сторон сосуда имеющую сечение в виде равнобедренного прямоугольного треугольника, и может перемещаться по дну сосуда (рис.). Считая, что трение между бруском и боковыми стенками отсутствует, найти минимальный коэффициент трения между основанием сосуда и бруском, при котором брусок придет в движение. Длина бруска $l = 20 см$, его масса $m = 90 г$, угол при вершине призмы $\alpha = 45^{ \circ}$, высота столба воды $h = 1 см$, плотность воды $\rho_{0} = 1 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$.
Подробнее

Задача по физике - 9342

Бревно уравновешено на тросе (рис.). Докажите, что если распилить бревно по линии обхвата троса, то конец АС окажется тяжелее конца СВ.
Подробнее

earthz.ru

Savchenko_O_Ya__FMSh_NGU__Zadachi_po_fizike - Стр 4

2.3.3.Для испытания оборудования в условиях перегрузок и невесомости контейнер с ним подбрасывается на высоту 125 м пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумной шахты. С какой силой действует поршень, подбрасывая контейнер, если при этом он выдвигается на длину h = 1 м,

амасса контейнера с оборудованием m = 2 т?

2.3.4.Оцените среднюю силу, развиваемую ногами человека при приземлении его после прыжка из окна второго этажа.

♦ 2.3.5. Сила, действующая на снаряд массы m в стволе орудия, нарастает

равномерно от нуля до F0 на участке ствола длины l1, не меняется на участке ствола длины l2 и, наконец, равномерно уменьшается до нуля на участке ствола

длины l3. Какова скорость снаряда при вылете из ствола?

♦ 2.3.6. Однородный брусок, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, попадает на шероховатый участок этой поверхности ширины L, коэффициент трения о который µ. При какой начальной скорости он преодолеет этот участок?

2.3.7. Оконную штору массы 1 кг и длины 2 м свертывают в тонкий валик над окном. Какова наименьшая затрачиваемая при этом работа? Трением пренебречь.

♦2.3.8. Пружина жесткости k прикреплена одним концом к неподвижной стенке. На другой ее конец вдоль пружины с начальной скоростью v налетает шар массы m. Какова наибольшая деформация сжатия пружины? Ответьте на этот же вопрос для случая, когда пружина предварительно

сжата и удерживается нерастяжимой нитью, связывающей ее концы (начальная деформация пружина равна x0).

2.3.9.Из длинной полоски резины жесткости k сделали рогатку. Найдите кинетическую энергию «снаряда», выпущенного из этой рогатки, если резину растянули с силой F и затем отпустили.

2.3.10.Почему плохо стреляют и слишком туго натянутые, и слишком слабо натянутые луки? Как подобрать наиболее подходящий лук?

2.3.11.С верхнего конца доски длины l, образующей угол α с вертикалью, начинает соскальзывать тело массы m. Какую кинетическую энергию оно приобретет, дойдя до нижнего конца доски? Рассмотрите случай отсутствия трения и случай, когда коэффициент трения между телом и доской µ < ctg α.

♦2.3.12. Автомобиль с работающим двигателем въезжает на обледенелую гору, поверхность которой образует угол α с горизонтом. Какой высоты гору может преодолеть автомобиль, если его начальная скорость при въезде на нее равна v, а коэффициент трения колес о лед µ < tg α?

♦2.3.13. Груз массы m медленно поднимают на высоту h по наклонной плоскости с помощью блока и троса. При этом совершается работа A. Затем трос отпускают, и груз скользит вниз. Какую скорость он наберет, опустившись до исходной точки?

♦2.3.14. Средневековый поворотный молот имеет тяжелый боек массы m на конце легкого стержня длины l. Его приводят из горизонтального в почти вертикальное положение, поворачивая вокруг оси, проходящей через другой конец

studfile.net

Центр тяжести и центр масс тела

Центр тяжести тела

Положение центра тяжести тела можно определить экспериментально. Для этого достаточно поочередно подвесить тело за две различные точки на его поверхности и провести через точки подвеса вертикали. Пересечение этих линий — линий действия сил тяжести — и определяет положение центра тяжести тела.

Центр масс тела

Координаты центра масс определяются формулами:

   

   

У однородных симметричных тел центр масс располагается в геометрическом центре тела: у круга (сферы) в его центре, у треугольника — в точке пересечения медиан, у прямоугольника — в точке пересечения диагоналей.

Механическая система всегда находится в равновесии относительно оси вращения, проходящей через ее центр масс.

В отличие от центра тяжести центр масс имеет смысл для любого тела или механической системы в то время, как центр тяжести — только для твердого тела, находящегося в однородном гравитационном поле.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Центр тяжести системы тел

В этой статье рассмотрены две задачи, которые немного похожи друг на друга. В обеих надо найти центр тяжести системы, а система состоит из частей. И иногда очень удобно «вернуть  на место» ту часть, которой изначально не было, понять, как она влияла, пока ее не изъяли.

Задача 1.  В свинцовом шаре сделана сферическая полость, поверхность которой касается шара и проходит через его центр. Масса сплошного шара равна , радиус шара . Найдите положение центра тяжести получившегося тела.

Задача эта совсем несложная, но мыслить надо «от обратного». Представим себе, что полость есть, и она пустая. Тогда центр тяжести шара, очевидно, сместится от центра шара  – точки О – вправо по линии АВ. Теперь представим, что мы заполнили пустоту, и полости нет. То есть она намечена, но снова заполнена. Тогда момент, создаваемый материалом в полости, и момент, создаваемый остальной частью шара, уравновесят друг друга, вследствие чего центр масс всего шара и оказывается в точке О.

К задаче 1

Тогда относительно точки записываем правило моментов:

   

Выясним, какую по массе часть шара вырезали. Для этого определим объем вырезанной части:

   

   

   

И найдем, какую часть эта величина составляет от объема большого  шара:

   

   

То есть масса вырезанной части равна массы шара, тогда:

   

   

   

   

Ответ:

Задача 2. В цилиндрический стакан наливают воду. При каком положении уровня воды в стакане центр тяжести стакана с водой занимает наинизшее положение?

Давайте разбираться. Пусть есть стакан, предположим, что его центр тяжести расположен так:

К задаче 2. Центр тяжести стакана без воды или с малым количеством воды

Это значит, что верхняя часть стакана весит столько же, сколько нижняя.

Начинаем потихоньку добавлять воду в стакан. Сначала уровень воды в стакане мал – то есть мы увеличиваем вес нижней части стакана. Если нижняя часть становится «влиятельнее», следовательно, центр тяжести системы смещается вниз. Он будет расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана. Возможное место расположения центра тяжести системы показано рыжей линией.

Теперь нальем воды ровно по уровень центра тяжести пустого стакана. Пока наблюдаем ту же картину: центр тяжести системы расположен где-то между центром тяжести воды и центром тяжести пустого стакана, потому что пока мы утяжеляли только нижнюю часть стакана. И утяжелили ее до предела: если наливать воду дальше, то  вес этой воды уже будет увеличивать вес верхней половины стакана.

К задаче 2. Смещение центра тяжести вверх

 

Снова прибавим воды. Ага, теперь утяжеляется уже верхняя часть, следовательно, центр тяжести смещается выше.

Наконец, видно, что дальнейшее прибавление количества воды будет «сдвигать» центр тяжести все выше и выше. Но по-прежнему центр тяжести системы расположен между центром тяжести воды и стакана.

Ответ: центр тяжести стакана с водой занимает одно из возможных наинизших положений, пока уровень воды не сравняется с центром тяжести пустого стакана.

easy-physic.ru

Движение в поле тяжести. Криволинейное движение. — Студопедия.Нет

Кинематика (6 занятий)

Движение с постоянной скоростью.

Занятие 1

Задача 1

Радиолокатор определяет координаты летящего самолета, измеряя угол между направлением на Северный Полюс и направлением на самолет и расстояние от радиолокатора до самолета. В некоторый момент времени положение самолета определялось координатами α 1 = 44°, расстояние R 1 = 100 км. Через промежуток времени равный 5 с после этого момента координаты самолета были: α 2 = 46°, расстояние R 2 = 100 км. Изобразите в декартовой системе координат с осью у, направленной на север, и с радиолокатором в начале координат положение самолета в оба момента времени; определите модуль и направление его скорости. Угол отсчитывайте по часовой стрелке.

Задача 2

Три микрофона, расположенные на одной прямой в точках А, В, С, последовательно зарегистрировали сигнал в моменты времени t A > t B > t C звук от взрыва, который произошел в точке O, лежащей на отрезке АС. Найдите длину отрезка АО, если АВ = ВС = L. В какой момент времени произошел взрыв?

Задача 3

С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испускаются звуковые сигналы длительности t 0. Длительность приема отраженного от дна импульса составляет t. Скорость звука в воде равна с. С какой скоростью погружается подводная лодка?

Задача 4

Из взрывчатого вещества изготовлен стержень длины l. Скорость детонации (скорость вовлечения во взрыв новых участков взрывчатого вещества) равна v, а скорость разлета продуктов взрыва u < v. Как изменяется со временем область занятая продуктами взрыва, если стержень подрывается с одного из концов?

Задача 5

По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени. Найдите среднюю скорость движения за большое количество циклов.

Задача 6

На какой угол изменится направление движения шара после двух упругих столкновений со стенками, угол между которыми равен α? Как полетит шар, если угол между стенками равен ? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стенкам.

Задача 7

Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью достаточно быстро, чтобы за ним нельзя было уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попадания пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой. Выстрелы производятся на высоте R от пола, перпендикулярно направлению движения диска. Разберите случаи с различными расстояниями между стенками.

Движение с переменной скоростью.

Занятие 2

Задача 8

Нарисуйте график зависимости координаты от времени для прямолинейного движения, удовлетворяющего одновременно двум условиям: средняя скорость в промежутке от 2 до 6 с равна 5 м/с, максимальная скорость в том же промежутке равна 15 м/с.

Задача 9

Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью расстояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой начальной скорости время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?

Задача 10

В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной скоростью v 0. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст.

Задача 11

График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокружности. Максимальная скорость тела равна v 0, время движения t 0. Определите путь, пройденный телом.

Задача 12

Графики зависимости координаты от времени, построенные в различном масштабе времени для двух частиц, оказались одинаковыми. Одно деление оси времени t для графика первой частицы отвечает 4 с, а для графика второй – 1 с. Найдите отношение скоростей и отношение ускорений частиц для точки А графика.

Задача 13

Тело начинает движение из точки А и движется сначала равноускоренно в течение времени t 0, а затем равнозамедленно, с тем же по модулю ускорением. Через какое время от начала движения тело вернется в точку А?

Задача 14

Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени ∆ t брошены два шарика со скоростью v. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?

 

Движение в поле тяжести. Криволинейное движение.

Занятие 3

Задача 15

Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом φ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности, если ее диаметр равен D?

Задача 16

Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки А гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?

Задача 17

Из орудия произведен выстрел под углом φ к горизонту. Начальная скорость снаряда v. Поверхность земли горизонтальна. Найдите: горизонтальную и вертикальную компоненты скорости как функцию от времени; зависимость координат х и у от времени; уравнение траектории, т.е. зависимость у от х; время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда.

Задача 18

С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь из пушки снаряд, чтобы поразить стартующую вертикально, с ускорением а, ракету? Расстояние от пушки до стартового стола L, пушка стреляет под углом α к горизонту.

Задача 19

Из шланга лежащего на земле под углом α к горизонту бьет струя воды со скоростью v. Определите массу струи находящейся в воздухе, если площадь ее сечения неизменна и равна s.

Занятие 4

Задача 20

Снаряд, вылетев из орудия со скоростью v попал в точку с координатами х и у. Найдите: тангенс угла наклона, образуемого стволом орудия и горизонтом; границу области возможного попадания снаряда; наименьшую потребную скорость снаряда, при которой он сможет поразить цель с координатами [х,у].

Задача 21

В сферической лунке прыгает шарик упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо равен Т1, а справа налево Т2. Определите радиус лунки.

Задача 22

Определите скорость и ускорение, которыми обладают точки земной поверхности на экваторе и в Санкт-Петербурге из-за вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли принять равным 6400 км. Санкт-Петербург находится на 60° с.ш.

Задача 23

Край гладкого горизонтального стола скруглен по окружности радиуса r. С какой наименьшей скоростью нужно пустить по столу маленькое тело, чтобы оно, достигнув начала скругления, сразу полетело по параболе?

 

Преобразование Галилея.

Занятие 5

Задача 24

Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке. Корабли движутся без ускорения. Найдите наименьшее расстояние между ними.

Задача 25

Буер представляет собой сани с парусом, и может двигаться лишь по прямой, вдоль которой направлены его коньки. Ветер дует со скоростью v перпендикулярно направлению движения буера. Парус отклонен на 30° относительно направления движения буера. Какую максимальную скорость может развить буер в таких условиях?

Задача 26

При упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость v меняется лишь по направлению. Определите изменение скорости после удара этого тела, если стенка движется: со скоростью u навстречу телу; со скоростью w < v в направлении движения тела.

Задача 27

Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимальный возможный угол α между скоростями одного из осколков и вектором , если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v.

Задача 28

Мальчик может плавать со скоростью в два раза меньшей скорости течения реки. Он хочет переплыть реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть? На какое расстояние его снесет, если ширина реки равна 200 м?

 

Движение со связями.

Занятие 6

Задача 29

Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной а. Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v. Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой. Где и через какое время встретятся черепахи?

Задача 30

На рисунке скорость груза А равна v A. Чему равна скорость груза В?

Задача 31

Постройте примерный график зависимости скорости точки В от времени если скорость v A точки А постоянна. Найдите формулу этой зависимости при x (0) = 0 и постройте ее график.

Задача 32

Скорость точки А твердого тела равна v и образует угол 45° с направлением прямой AB. Скорость точки В этого тела равна u. Определите проекцию скорости точки B на направление АВ.

Задача 33

Найдите зависимость скорости точки поверхности колеса радиуса R от ее положения на поверхности (угла α между вертикалью, проходящей через ось колеса, и направлением на точку) и скорости колеса V. Проскальзывания между колесом и горизонтальной подстилающей поверхностью нет.

Задача 34

Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом α к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах α ось движется вправо, а при каких влево? Нить достаточно длинна и не провисает, таким образом угол α остается постоянным.

Задача 35

Стержень, шарнирно закрепленный одним концом на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня равна ω. Проскальзывания между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью.

 

Динамика.

Законы Ньютона.

Занятие 1

Задача 1

В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля протяженности l, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Чему равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоянии L от центра области действия электрической силы. Масса электрона me.

Задача 2

Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Сила натяжения горизонтальных нитей соответственно T 1 и T 2, а вертикальных – T 3 и T 4. С каким ускорением движется тележка по горизонтальной плоскости?

Задача 3

Динамометр состоит из двух цилиндров, соединенных легкой пружиной. Найдите соотношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силам F 1 и F 2 динамометр показывает силу F.

Задача 4

Два груза массой соответственно m 1 и m 2 соединены нитью перекинутой через блок, закрепленный на потолке. Найдите ускорение грузов и силы натяжения нити в месте крепления к грузам. Блок и нити невесомы, трение отсутствует.

Задача 5

Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пружинами, подвешена на нити к потолку и находится в равновесии. Нить перерезают, найдите ускорения шаров сразу после перерезания нити.

Задача 6

Тело массы m, с разных сторон, соединено двумя пружинами жесткости k 1 и k 2 с неподвижными стенками, пружины первоначально не деформированы. При возникновении колебаний, наибольшее ускорение тела равно a. Найдите максимальное отклонение тела от положения равновесия и максимальные силы, с которыми пружины действуют на стенки.

Задача 7

Тело массы m прикреплено к двум соединенным последовательно пружинам жесткости k 1 и k 2. К свободному концу цепочки пружин приложена постоянная сила F. Каково суммарное удлинение пружин, если движение системы установилось (колебания прекратились)?

 

Занятие 2

Задача 8

Тело, находящееся на горизонтальной плоскости, тянут за нить в горизонтальном направлении. Нарисуйте график зависимости силы трения, действующей на тело со стороны плоскости, от силы натяжения нити. Первоначально тело неподвижно. Масса тела равна 10 кг, а коэффициент трения 0,51.

Задача 9

Ленточный подъемник образует угол α с горизонтом. С каким максимальным ускорением может подниматься ящик на таком подъемнике, если коэффициент трения равен μ? Лента подъемника не прогибается.

Задача 10

Цилиндр скользит по желобу, имеющему вид двугранного угла с раствором α. Ребро двугранного угла наклонено под углом β к горизонту. Плоскости двугранного угла образуют одинаковые углы с горизонтом. Определите ускорение цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и поверхностью желоба μ.

Задача 11

По деревянным сходням, образующим угол α с горизонтом втаскивают за привязанную к нему веревку массивный ящик. Коэффициент трения ящика о сходни μ. Под каким углом к горизонту следует тянуть за веревку, чтобы с наименьшим усилием втащить ящик?

Задача 12

Человек массы m 1, оставаясь на месте, тянет за веревку груз массы m 2. Коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен μ. При какой наименьшей силе натяжения веревки груз сдвинется с места? Различием в сопротивлении трения покоя и скольжения пренебречь.

Задача 13

Тело массы m 1 лежит на доске массы m 2, находящейся на гладкой горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телом и доской μ. Какую силу нужно приложить к доске, чтобы тело соскользнуло с нее? За какое время тело соскользнет, если к доске приложена сила F 0, а длина доски равна L? С каким ускорением будут двигаться тело и доска, если сила F 0 приложена к телу массы m 1?


Занятие 3

Задача 14

Масса воздушного шара вместе с канатом, волочащимся по земле, равна m; выталкивающая сила, действующая на шар, равна F; коэффициент трения каната о землю равен μ. Сила сопротивления воздуха, действующая на воздушный шар, пропорциональна квадрату скорости шара относительно воздуха и равна α . Найдите скорость шара относительно земли, если дует горизонтальный ветер со скоростью u.

Задача 15

Лента горизонтального транспортера движется со скоростью u. На ленту по касательной к ней влетает шайба, начальная скорость v которой перпендикулярна краю ленты. Найдите максимальную ширину ленты, при которой шайба достигнет другого ее края, если коэффициент трения между шайбой и лентой μ.

Задача 16

Какая шайба, вращающаяся вокруг своей или не вращающаяся пройдет больший путь до остановки? Начальная скорость центров шайб одинакова.

Задача 17

Горизонтальную ось радиуса R, вращающуюся с угловой скоростью ω, обжимает втулка, снабженная противовесом, чтобы перемещаясь вдоль оси, она не вращалась. Определите установившуюся скорость втулки под действием силы F, приложенной к ней вдоль оси. Максимальная сила трения оси о втулку F тр > F.

Задача 18

На плоскости, тангенс угла наклона которой равен коэффициенту трения, лежит монетка. В горизонтальном направлении вдоль плоскости монете сообщили скорость v. Найдите установившуюся скорость монеты.

 

Занятие 4

Задача 19

Найдите ускорение тел системы изображенной на рисунке. Сила F приложена в направлении нити к одному из тел массы m. Участки нити по обе стороны от легкого блока, прикрепленного к телу массы M, параллельны.

Задача 20

К свободному концу нити, прикрепленной к стенке и переброшенной через ролик, подвешен груз. Ролик закреплен на бруске массы m 0, который может скользить по горизонтальной плоскости без трения. В начальный момент нить с грузом отклоняют на угол α от вертикали, а затем отпускают. Определите ускорение бруска, если известно, что угол, образованный нитью с вертикалью, не меняется при движении системы. Чему равна масса груза?

Задача 21

Скорость тела массы m в жидкости убывает с пройденным расстоянием l по закону , где  – начальная скорость, а β – постоянный коэффициент. Как зависит сила вязкого трения, действующая на тело со стороны жидкости, от скорости тела?

Задача 22

Сила сопротивления воздуха, действующая на капли дождя, пропорциональна произведению квадрата скорости капель на квадрат их радиуса: , где ρ – плотность воздуха, а безразмерный коэффициент  равен приблизительно 0,16 (а α 0,3). Какие капли, крупные или мелкие, падают на землю с большей скоростью? Оцените скорость капли радиусом в 1 мм при падении с большой высоты.

Задача 23

Сила сопротивления воздуха, действующая на капли тумана, пропорциональна произведению радиуса на скорость: . Капли радиуса 0,1 мм падая с большой высоты имеют скорость порядка 1 м/с. Какую скорость будут иметь капли, радиус которых в два раза меньше? А в десять раз?

Занятие 5

Задача 24

На два катка разного радиуса положи тяжелую плиту. Она образует угол α с горизонтом. Найдите ускорение этой плиты. Проскальзывания нет. Масса катков в сравнении с массой плиты мала.

Задача 25

Тело массы M связано нитью длины l с осью, вокруг которой оно обращается с угловой скоростью ω. Найдите силу натяжения нити. Размером тела и силой тяжести пренебречь. Замените нить однородной веревкой массы m и найдите зависимость силы натяжения веревки от расстояния x от оси вращения.

Задача 26

На гладкое проволочное кольцо радиуса R, расположенное вертикально, надета маленькая бусинка массы m, которая может скользить по кольцу без трения. Кольцо вращается с угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси, проходящей по диаметру кольца. Где находится бусинка?

Задача 27

Из тонкого резинового жгута массы m и жесткости k сделали кольцо радиуса R 0. Это кольцо раскрутили вокруг его оси. Найдите новый радиус кольца, если угловая скорость его вращения ω.

Занятие 6

Задача 28

Кольцевая цепочка массы m надета на горизонтальный диск радиуса R. Сила натяжения надетой цепочки равна T. Найдите коэффициент трения между диском и цепочкой, если при вращении диска с угловой скоростью равной или большей ω, цепочка с него спадает.

Задача 29

Конькобежец на ледяной дорожке старается пройти вираж как можно ближе к внутренней бровке. Велосипедист на велотреке, наоборот, проходит вираж как можно дальше от внутренней бровки. Как объяснить это различие в тактике прохождения виража? Профиль велотрека все круче по мере удаления от внутренней бровки.

Задача 30

В цирковом аттракционе мотоциклист движется по внутренней поверхности сферы радиуса R. Разогнавшись, он начинает описывать горизонтальную окружность в верхней полусфере. После этого, для пущего эффекта нижнюю полусферу убирают. Определите минимальную скорость мотоциклиста, если коэффициент трения шин о поверхность сферы равен μ, а угол между вертикалью и направлением к мотоциклисту из центра сферы равен α.

Задача 31

С какой угловой скоростью должен вращаться вокруг своей оси горизонтально расположенный цилиндр, чтобы мелкие частицы внутри цилиндра не соскальзывали с его поверхности? Коэффициент трения между поверхностью цилиндра и частицами µ=1, внутренний радиус цилиндра R.

 

Импульс. Центр масс.

Занятие 1

Задача 1

Частица массы m движется со скоростью v, а частица массы 2 m движется со скоростью 2 v в направлении, перпендикулярном направлению движения первой частицы. На каждую частицу начинают действовать одинаковые силы. После прекращения действия сил первая частица движется со скоростью 2 v в направлении, обратном первоначальному. Определить скорость второй частицы.

Задача 2

В масс-пролетном спектрометре источник испускает сгусток заряженных частиц, которые сначала летят свободно, и пролетают первый датчик D 1, находящийся на расстоянии L от сетки. За сеткой, по нормали к ней, на частицы действует электрическая сила F. Частицы поворачиваются и вылетают через сетку назад, пролетая через второй датчик D 2, находящийся на том же расстоянии от сетки. От напряжения источника зависит скорость вылетающих частиц, но точное ее значение остается неизвестным. Меняя напряжения, измеряют время между срабатываниями датчиков и находят наименьшее его значение Δ t. Какова масса частицы? Как можно найти массу частиц, если источник испускает несколько сортов частиц с разной массой?

Задача 3

Ящик с песком массы M лежит на горизонтальной плоскости, коэффициент трения с которой равен µ. Под углом α к вертикали в ящик со скоростью v влетает пуля массы m и почти мгновенно застревает в песке. Через какое время после попадания пули в ящик, он, начав движение, остановится? При каком значении α он вообще не сдвинется?

Задача 4

При наблюдениях с Земли удается определить только радиальную скорость звезд-партнеров, входящих в состав двойной звезды. При измерениях получены значения радиальной скорости v 1 и u 1 звезд партнеров двойной звезды. При повторных измерениях, проведенных через год, значения этой скорости составили v 2 и u 2. Найдите отношения масс звезд, входящих в состав двойной звезды. Почему нужно изменить расчеты, если повторное измерение проводится через день, месяц или полгода?

Задача 5

На покоящееся тело массы m 1 налетает со скоростью v тело массы m 2. Сила, возникающая при взаимодействии тел, линейно зависящая от времени, растет от нуля до значения F 0 за время t 0, а затем равномерно убывает до нуля за то же время. Определите скорости тел после взаимодействия, считая, что движение происходит по одной прямой.

Задача 6

Космический корабль перед отделением последней ступени ракеты-носителя имел скорость v, после отбрасывания последней ступени его скорость стала равной 1.01 v, при этом отделившаяся ступень удаляется от корабля со скоростью 0.04 v. Какова масса последней ступени, если масса корабля m 0?

Задача 7

Протон с начальной скоростью v летит прямо на первоначально покоящееся ядро гелия. Какова скорость частиц при наибольшем их сближении? Масса ядра гелия близка к учетверенной массе протона.

Задача 8

При β-распаде покоящегося первоначально нейтрона образуются протон, электрон и нейтрино. Импульсы протона и электрона равны p 1 и p 2, угол между ними α. Определите импульс нейтрино.

 

Занятие 2

Задача 9

Где находится центр масс однородного прута, согнутого посередине под прямым углом? Однородной треугольной пластинки?

Задача 10

На первоначально неподвижной тележке установлены два вертикальных цилиндрических сосуда, соединенных тонкой трубкой. Площадь сечения каждого сосуда равна S, расстояние между их осями l. Один из сосудов заполнен жидкостью плотности ρ. Кран на соединительной трубке открывают. Найдите скорость тележки в момент времени, когда скорость уровня жидкости равна v. Полная масса системы равна m.

Задача 11

На гладком полу стоит сосуд заполненный водой плотности ρ 0, объем воды в сосуде V 0. Оказавшийся на дне сосуда жук объема V и плотности ρ начинает ползти по дну сосуда со скоростью u относительно него. С какой скоростью станет двигаться сосуд по полу? Массой сосуда пренебречь, уровень воды все время остается горизонтальным.

Задача 12

Два тела массы m 1 и m 2 связаны натянутой нитью длины l и движутся по гладкой горизонтальной поверхности. В некоторый момент времени оказалось, что тело массы m 1 неподвижно, а другое тело движется со скоростью v перпендикулярно нити. Определите силу натяжения нити.

Задача 13

Космическая станция состоит из двух отсеков массы m 1 и m 2, соединенных длинным однородным тросом длины L. Станция вращается вокруг своей оси, перпендикулярной тросу. Какова угловая скорость вращения, если сила натяжения троса вблизи первого отсека равна T 1, а вблизи второго T 2? Какова масса троса?

Задача 15

Три точечные массы m 1, m 2, m 3 связаны нитями длины l и вращаются с угловой скоростью ω вокруг центра масс сохраняя конфигурацию равностороннего треугольника. Найдите силу натяжения всех нитей.

 

Занятие 3

Задача 16

На тележке установлен цилиндрический сосуд с площадью сечения S, наполненный жидкостью плотности ρ. От сосуда, параллельно полу, отходит тонкая горизонтальная трубка длины L, небольшой отрезок которой загнут по вертикали вниз. Уровень жидкости в сосуде опускается с ускорением a. Какой горизонтальной силой можно удержать тележку на месте?

Задача 17

Обезьяна массы m уравновешена противовесом на блоке A. Блок A уравновешен грузом массы 2 m на блоке B. В исходном состоянии система неподвижна. Обезьяна начинает равномерно выбирать веревку со скоростью u относительно себя. Как будут двигаться грузы? Массой блоков и трением пренебречь.

Задача 18

На тросе висит небольшой ящик с песком. В ящик стреляют из пулемета и пули застревают в песке. Скорость пули v, масса пули m, масса ящика с песком M. Трос отклоняется на угол α от вертикали. Какова скорострельность пулемета, если все выпущенные пули попадают в цель?

Задача 19

В цилиндре под поршнем массы M прыгают, упруго ударяясь о поршень и дно цилиндра, N >>1 шариков массы m каждый. Сила тяжести, действующая на поршень, уравновешена ударами шариков. Расстояние между дном цилиндра и поршнем равно h. Полная энергия каждого шарика одинакова. На какую высоту будут подскакивать шарики, если поршень мгновенно убрать (за время поднятия поршня не произойдет столкновений между шариками и поршнем)?

Задача 20

Две тележки массы M каждая движутся параллельно со скоростями  и . Груз массы m, сначала лежавший на первой тележке, с почти нулевой скоростью относительно этой тележки перебрасывают на вторую тележку. Затем с почти нулевой скоростью уже относительно второй тележки его перебрасывают обратно на первую. Какой станет разность скоростей тележек после N таких перебросов груза туда и обратно?

Задача 21

Веревку, перекинутую через гладкий гвоздь, протаскивают со скоростью v сквозь щель. Сила трения в щели F, масса единицы длины веревки ρ. Определите силу, действующую на гвоздь, если участки веревки по разные стороны гвоздя образуют угол α. При какой скорости веревка отойдет от гвоздя?

Задача 22

Газ, вытекающий из сопла ракеты, имеет скорость v относительно нее. Определите изменение скорости ракеты после того, как ее масса из-за истечения газа уменьшилась в n раз.

 

studopedia.net

Подготовка к олимпиаде. Метод определения центра масс

Метод определения центра масс

Изложены способы нахождения центра масс, в том числе теорема Вариньона; показано различие между центром тяжести и центром масс.

Центром масс системы называется воображаемая точка, радиус вектор которой

$\vec{R} = \frac{m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + \cdots + m_n\vec{r_n}}{m_1 + m_2 + \cdots + m_n} = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i\vec{r_i}}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}$.

Обозначим массу системы

$M = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i$,

$M\vec{R} = m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_2} + \cdots + m_n\vec{r_n}$.

Найдем производную по времени:

$M\vec{v_ц} = m_1\vec{v_1} + m_2\vec{v_2} + \cdots + m_n\vec{v_n}$.

В правой части стоит суммарный импульс системы, а $\vec{v_ц}$ – скорость центра масс.

Таким образом, центр масс системы движется как материальная точка массы $M$. Это теорема о движении центра масс.

Найдя еще одну производную, получим

$M\vec{a_ц} = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i^{вн}} = \vec{F}$.

Здесь $\vec{a_ц}$ – ускорение центра масс, $\vec{F_i^{вн}}$ – внешняя сила, действующая на $i$-тое тело системы, а $F$ – равнодействующая всех сил, действующих на систему. Напомним. Что на основании третьего закона Ньютона сумма внутренних сил равна нулю.

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \vec{F_i^{вн}} = 0$.

Этот результат дает возможность сформулировать следующее определение центра масс системы, подверженной внешним воздействиям вне зависимости от их природы. Центр масс такой системы – точка приложения равнодействующей всех сил. В случае действия одних лишь сил тяжести центр масс системы заменяют совпадающим с ним, но более узким по содержанию понятием центра тяжести.

В следующих задачах рассмотрим способы нахождения центра масс, а в следующей главе продемонстрируем применение теоремы о его движении.

 

Задача 1. К концам невесомого стержня длиной $l$ приложены силы $F_1$ и $F_2$ (рис.). Найти точку приложения равнодействующей силы.

Задача 2. Найти центр масс системы изображенной на рисунке.

Решив эти две задачи, мы фактически методом математической индукции доказали теорему Вариньона: момент равнодействующей относительно произвольно выбранной оси равен сумме моментов всех сил относительно этой же оси. Эта ось проходит через точку $A$. Теорема дает возможность находить центр масс, причем ось удобно выбирать в точке приложения нескольких сил (моменты этих сил будут равны нулю).

Задача 3. Из тонкого однородного диска радиуса $R$ вырезан диск радиуса $r$ ($r < \frac{R}{2}$). Расстояние между центрами диска $O$ и полости равно $a$ ($a > r$). Найти расположение центра масс.

Задача 4. На рисунке изображены цепочка длиной $L$ и два стержня длиной $L/2$ каждый. Чей центр масс выше?

 

Задача 5. На поверхности воды плавает деревянный кубик квадратного сечения, плотность кубика в два раза меньше плотности воды. Какое из двух положений равновесия будет устойчивым?

Задача 6. Найти центр масс тонкой проволоки согнутой в виде полуокружности радиуса $r$.

Задача 7. Определить положение центра тяжести однородного тонкого полукруга радиуса $r$.

Задача 8. Брусок $2$ отпускают (рис.). Что произойдет раньше: брусок $2$ ударится о стенку, или $1$ упрется в блок?

Задача 9. На гладкой горизонтальной поверхности на расстоянии $2l$ друг от друга неподвижно лежат два шарика, массой $m$ каждый, связанные невесомой нерастяжимой нитью длиной $2l$. Среднюю точку нити $A$ начинают двигать с постоянной скоростью $v$ в горизонтальном направлении, перпендикулярном нити. Какой путь пройдет точка $A$ до момента столкновения шаров?

Задачи для самостоятельной работы.

Задача 10. Определить положение центра тяжести тонкой однородной проволоки, прогнутой по дуге радиуса $r$r (рис.).

Ответ

$h = 2r \frac{sin(\alpha /2)}{\alpha}$

Задача 11. Определить положение центра тяжести тонкой однородной пластинки, представляющей собой сектор радиуса $r$, имеющей центральный угол $\alpha$ (рис.).

Ответ

$OM = \frac{4}{3}r\frac{sin(\alpha /2)}{\alpha}$

Задача 12. Найти центр масс фигуры (рис.).

 

Ответ

$OC = \frac{2}{3}\frac{r}{4\pi}$

fizportal.ru

Черноуцан А.И. Задачи на центр масс // Квант

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

При решении механических задач неоценимую помощь может оказать использование понятия центра масс системы материальных точек. Одни задачи просто невозможно решить, не прибегая к этому понятию, решение других с его помощью может стать гораздо проще и нагляднее.

 

Перед тем как обсуждать конкретные задачи, напомним основные свойства центра масс и проиллюстрируем их примерами.

Центром масс (центром инерции) системы материальных точек назовем точку, характеризующую распределение масс в системе, координаты которой определяются формулами

Здесь mi — массы материальных точек, образующих систему, xi, yi, zi — координаты этих точек. Читатели, знакомые с понятием радиуса-вектора, предпочтут векторную запись:

                                    (1)

 

Пример 1. Найдем положение центра масс, простейшей системы, состоящей из двух точек, массы которых m1 и m2 и расстояние между ними l (рис. 1).

Рис. 1

Направив ось X от первой точки ко второй, получим, что расстояние от первой точки до центра масс (т.е. координата центра масс) равно  а расстояние от центра масс до второй точки равно  т.е. отношение расстояний обратно отношению масс. Значит, в этом случае положение центра масс совпадает с центром тяжести.

Обсудим некоторые свойства центра масс, что, как нам кажется, наполнит физическим содержанием приведенное выше несколько формальное определение этого понятия.

1) Положение центра масс не изменится, если какую-то часть системы заменить одной точкой с массой, равной массе этой подсистемы, и находящейся в ее центре масс.

 

Пример 2. Рассмотрим плоский однородный треугольник и найдем положение его центра масс. Разделим треугольник на тонкие полоски, параллельные одной из сторон, и заменим каждую полоску точкой, расположенной в ее середине. Так как все такие точки лежат на медиане треугольника, центр масс тоже должен лежать на медиане. Повторяя рассуждения для каждой из сторон, получаем, что центр масс находится на пересечении медиан.

2) Скорость центра масс можно найти, взяв производную по времени от обеих частей равенства (1):

                                  (2)

где  — импульс системы, m — полная масса системы. Видно, что скорость центра масс замкнутой системы постоянна. Значит, если связать с центром масс поступательно движущуюся систему отсчета, то она будет инерциальной.

 

Пример 3. Поставим однородный стержень длиной l вертикально на гладкую плоскость (рис. 2) и отпустим. В процессе падения как горизонтальная составляющая его импульса, так и горизонтальная составляющая скорости центра масс будут оставаться равными нулю. Поэтому в момент падения центр стержня окажется в том месте, где первоначально стоял стержень, а концы стержня сместятся по горизонтали на .

Рис. 2

3) Ускорение центра масс равно производной от его скорости по времени:

                               (3)

где в правой части равенства стоят только внешние силы, так как все внутренние силы сокращаются по третьему закону Ньютона. Получаем, что центр масс, движется так, как двигалась бы воображаемая точка с массой, равной массе системы, под действием результирующей внешней силы. Наверное, это самое физическое свойство центра масс.

 

Пример 4. Если бросить палку, приведя ее при этом во вращение, то центр масс палки (ее середина) будет двигаться с постоянным ускорением  по параболе (рис. 3).

Рис. 3

4) Пусть система точек находится в однородном поле тяжести. Тогда суммарный момент сил тяжести относительно любой оси, проходящей через центр масс, равен нулю. Это значит, что равнодействующая сил тяжести проходит через центр масс, т.е. центр масс является также центром тяжести.

5) Потенциальная энергия системы точек в однородном поле тяжести вычисляется по формуле

где hцвысота центра масс системы.

 

Пример 5. При выкапывании в однородном фунте ямы глубиной h и разбрасывании грунта по поверхности его потенциальная энергия возрастает на , где m — масса извлеченного грунта.

6) И еще одно полезное свойство центра масс. Кинетическая энергия системы точек может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии общего поступательного движения системы, равной , и кинетической энергии Eотн движения относительно системы отсчета, связанной с центром масс:

 

Пример 6. Кинетическая энергия обруча, катящегося без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью υ, равна

так как относительное движение в этом случае представляет собой чистое вращение, для которого линейная скорость точек обруча равна υ (полная скорость нижней точки должна быть равна нулю).

Теперь приступим к разбору задач на использование центра масс.

 

Задача 1. Однородный стержень лежит на гладкой горизонтальной поверхности. К стержню прикладывают две одинаковые по величине, но противоположные по направлению горизонтальные силы: одна сила приложена к середине стержня, другая — к его концу (рис. 4). Относительно какой точки начнет поворачиваться стержень?

Рис. 4

На первый взгляд может показаться, что осью вращения будет точка, лежащая посередине между точками приложения сил. Однако уравнение (3) показывает, что поскольку сумма внешних сил равна нулю, то равно нулю и ускорение центра масс. Значит, центр стержня будет оставаться в покое, т.е. служить осью вращения.

 

Задача 2. Тонкий однородный стержень длиной l и массой m привели в движение вдоль гладкой горизонтальной поверхности так, что он движется поступательно и одновременно вращается с угловой скоростью ω. Найдите, натяжение стержня в зависимости от расстояния x до его центра.

Перейдем в инерциальную систему отсчета, связанную с центром стержня. Рассмотрим движение куска стержня, заключенного между рассматриваемой точкой стержня (расположенной на расстоянии x от центра) и его концом (рис. 5).

Рис. 5

Единственной внешней силой для этого куска является искомая сила натяжения Fн, масса равна , а его центр масс движется по окружности радиусом  с ускорением . Записывая уравнение движения центра масс выделенного куска, получим

 

Задача 3. Двойная звезда состоит из двух звезд-компонентов массами m1 и m2, расстояние между которыми не меняется и остается равным L. Найдите период вращения двойной звезды.

Рассмотрим движение звезд-компонентов в инерциальной системе отсчета, связанной с центром масс двойной звезды. В этой системе отсчета звезды движутся с одной и той же угловой скоростью по окружностям разных радиусов (рис. 6).

Рис. 6

Радиус вращения звезды массой m1 равен  (см. Пример 1), а ее центростремительное ускорение создается силой притяжения к другой звезде:

Видим, что период вращения двойной звезды равен

и определяется полной массой двойной звезды, независимо от того, как она распределена между звездами-компонентами.

 

Задача 4. Две точечные массы m и 2m связаны невесомой нитью длиной l и движутся по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость массы 2m равна нулю, а скорость массы m равна υ и направлена перпендикулярно нити (рис. 7). Найдите натяжение нити и период вращения системы.

Рис. 7

Центр масс системы находится на расстоянии  от массы 2m и движется со скоростью . В системе отсчета, связанной с центром масс, точка массой 2m движется по окружности радиусом  со скоростью . Значит, период вращения равен  (проверьте, что такой же ответ получается, если рассмотреть точку массой m). Натяжение нити найдем из уравнения движения любой из двух точек:

 

Задача 5. На гладкой горизонтальной плоскости лежат два одинаковых бруска массой m каждый, связанных легкой пружиной жесткостью k (рис. 8). Первому бруску сообщают скорость υ0 в направлении от второго бруска. Опишите движение системы. Через какое время деформация пружины впервые достигнет максимального значения?

Рис. 8

Центр масс системы будет перемещаться с постоянной скоростью . В системе отсчета центра масс начальная скорость каждого бруска равна , а жесткость половинной пружины, которая соединяет его с неподвижным центром масс, составляет 2k (жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине). Период таких колебаний равен

а амплитуда колебаний каждого бруска, которую можно найти из закона сохранения энергии, составляет

В первый раз деформация станет максимальной через четверть периода, т.е. через время .

 

Задача 6. Шар массой m налетает со скоростью υ на покоящийся шар массой 2m. Найдите скорости обоих шаров после упругого центрального удара.

В системе отсчета, связанной с центром масс, полный импульс двух шаров равен нулю как до, так и после coyдарения. Легко догадаться, какой ответ для конечных скоростей удовлетворяет одновременно и этому условию, и закону сохранения энергии: скорости останутся такими же, как до удара, по величине, но изменят свои направления на противоположные. Скорость центра масс системы равна . В системе центра масс первый шар движется со скоростью , а второй шар движется навстречу первому со скоростью . После удара шары будут разлетаться с такими же скоростями. Осталось вернуться в первоначальную систему отсчета. Применяя закон сложения скоростей, находим, что конечная скорость шара массой m равна  и направлена назад, а скорость покоившегося раньше шара массой 2m равна  и направлена вперед.

Отметим, что в системе центра масс очевидным является утверждение, что при ударе относительная скорость шаров не меняется по величине, но меняется по направлению. А так как разность скоростей при переходе в другую инерциальную систему отсчета не изменяется, можно считать, что мы вывели это важное соотношение и для первоначальной системы отсчета:

υ1 – υ2 = u1 – u2,

где буква υ используется для обозначения начальных скоростей, а u — для конечных. Это уравнение можно решать совместно с законом сохранения импульса вместо закона сохранения энергии (куда скорости входят во второй степени).

 

Задача 7. Известно, что при упругом нецентральном ударе двух одинаковых шаров, один из которых до удара покоился, угол разлета равен 90°. Докажите это утверждение.

В системе центра масс нецентральный удар можно описать следующим образом. До удара шары сближаются с одинаковыми импульсами, после удара они разлетаются с такими же по величине, но противоположно направленными импульсами, а прямая разлета поворачивается на некоторый угол относительно прямой сближения. Чтобы перейти обратно в начальную систему отсчета, надо каждую конечную скорость сложить (векторно!) со скоростью центра масс. В случае одинаковых шаров скорость центра масс равна , где υ — скорость налетающего шара, и в системе отсчета центра масс шары сближаются и разлетаются с одинаковыми скоростями . В том, что после сложения каждой конечной скорости со скоростью центра масс получаются взаимно перпендикулярные векторы, можно убедиться из рисунка 9. А можно и просто проверить, что скалярное произведение векторов  и  обращается в ноль в силу того, что модули векторов  равны друг другу.

Рис. 9

 

Упражнения

1. Стержень массой m и длиной l шарнирно закреплен за один из концов. Стержень отклонили на некоторый угол от вертикального положения и отпустили. В момент прохождения вертикального положения скорость нижней точки равна υ. Найдите натяжение в средней точке стержня в этот момент времени.

2. Стержень массой m и длиной l вращают в горизонтальной плоскости с угловой скоростью ω вокруг одного из его концов. Найдите зависимость натяжения стержня от расстояния x до оси вращения, если на другом конце закреплен маленький грузик массой М.

3. Найдите период колебаний для системы, описанной в задаче 5 статьи, но для брусков различных масс m1 и m2.

4. Выведите известные общие формулы для упругого центрального удара двух шаров, используя переход в систему отсчета центра масс.

5. Шар массой m1 налетает на покоящийся шар меньшей массы m2. Найдите максимально возможный угол отклонения налетающего шара при упругом нецентральном ударе.

Ответы

1.

2.

3.

5.

 

alsak.ru


Смотрите также

Описание: